Question

如图所示，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC=90°，AB=AC，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6．
（1）求证：平面ABD⊥平面ACD；
（2）求二面角A-CD-B的平面角的正切值；
（3）求异面直线AD与BC间的距离．

Answer 1

分析：（1）要证平面ABD⊥平面ACD，关键是证AC⊥平面ABD，只需证AC⊥BC，AC⊥AB，利用平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC可证；
（2）设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF，由三垂线定理，可得∠EFA为二面角的平面角，从而可求；
（3）将异面直线AD与BC间的距离转化为点到面的距离求解．

解答：证明：（1）∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC=BC
∴BD⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB=B，
∴AC⊥平面ABD 又AC?平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD．
（2）设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF，由三垂线定理：∠EFA为二面角的平面角
∵△EFC∽△DBC，∴

EF

BD

=

CF

CD

，
∴EF=

3

2

，又AE=3，
∴tan∠EFA=

AE

EF

=2
∴二面角的平面角的正切值为2
（3）解：过点D作DG∥BC，且CB=DG，连AG，设平面ADG为平面α
∵BC∥平面ADG，∴B到平面ADG的距离等于C到平面ADG的距离为h
∵V_C-AGD=V_A-CBD
∴

1

3

S△AGDh=

1

3

S△BCD AE
∴h=

6 7

7

点评：本题的考点是与二面角有关的立体几何综合，主要考查面面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，考查异面直线间的距离，有一定的综合性