题目内容
已知
、
是抛物线
(
>0)上异于原点
的两点,则“
=0”是“直线
恒过定点(
)”的( )









A.充分非必要条件 | B.充要条件 |
C.必要非充分条件 | D.非充分非必要条件 |
B
解:由

设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
(I)当直线l有存在斜率时,设直线方程为y=kx+b,显然k≠0且b≠0.
联立方程得:


又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,

故直线l的方程为:y=kx-2pk=k(x-2p),故直线过定点(2p,0)
(II)当直线l不存在斜率时,设它的方程为x=m,显然m>0

又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,即m2-2m=0,解得m=0(舍去)或m=2
可知直线l方程为:x=2,故直线过定点(2,0)
综合(1)(2)可知,满足条件的直线过定点(2,0).
由“直线AB恒过定点(2p,0)”推

设l:x=ty+2p代入抛物线y2=2px消去x得,
y2-2pty-4p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=2pt,y1y2=-4p2
∴

=t2y1y2+2pt(y1+y2)+4p2+y1y2
=-4p2t2+4p2t2+4p2-4p2=0.
∴

故选B.

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