题目内容
【题目】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)记的最大值为
,若
且
,求证:
;
(3)若,记集合
中的最小元素为
,设函数
,求证:
是
的极小值点.
【答案】(1)增区间为,减区间为
;(2)见解析;(3)见解析
【解析】分析:(1)分别解不等式和
可得
的增区间和减区间.
(2),根据
得到
,把该式变形为
,证明函数不等式
在
恒成立即可.
(3)根据(1)中函数的单调性及可得
,因此
,分别讨论函数在
的单调性可判断
是
的极小值点.
详解:(1),
因为由
,得
;
由,得
;
所以,的增区间为
,减区间为
.
(2)由(1)知,.
∴,∴
,
∴,∴
,∴
,
设,则
,
所以,在
上单调递增,
,则
,因
,
故,
,所以
.
(3)由(1)可知,在区间
单调递增,又
时,
,
易知,在
递增,
,
∴,且
时,
;
时,
.
当时,
于是时,
, (所以,若证明
,便能证明
),
记,
则,∵
,∴
,
∴在
内单调递增,∴
,
∵,
∴在
内单调递增.
∴,于是
时,
,
∴在
递减.
当时,相应的
,
∴在
递增.故
是
的极小值点.
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