Question

已知函数f(x)=x+mlnx+

2

x

(m∈R)．
（I）当m=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处的切线与直线y=-

1

2

x平行，求m的值．

Answer 1

分析：（I）当m=1时，确定函数的定义域，求导函数，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求导函数，利用导数的几何意义，建立方程，即可求m的值．

解答：解：（I）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}
当m=1时，f(x)=x+lnx+

2

x

，f′(x)=

(x-1)(x+2)

x2

令f′(x)=

(x-1)(x+2)

x2

＞0可得x＜-2或x＞1；令f′(x)=

(x-1)(x+2)

x2

＜0，可得-2＜x＜1
∵x＞0，∴，f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；
（Ⅱ）f′(x)=1+

m

x

-

2

x2

∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处的切线与直线y=-

1

2

x平行，
∴f′(2)=1+

m

2

-

1

2

=-

1

2

∴m=-2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．