Question

设定义域在[x₁，x₂]的函数y=f（x）的图象为C，C的端点分别为A、B，M是C上的任一点，向量

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)，

OM

=(x，y)，若x=λx₁+（1-λ）x₂，记向量

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，现定义“函数y=f（x）在[x₁，x₂]上可在标准K下线性近似”是指|

MN

|≤K恒成立，其中K是一个正数．
（1）证明：0≤λ≤1（2）；
（3）请你给出一个标准K的范围，使得[0，1]上的函数y=x²（4）与y=x³（5）中有且只有一个可在标准K下线性近似．

Answer 1

（1）由题意，x₁≤x≤x₂，即x₁≤λx₁+（1-λ）x₂≤x₂，∴x₁-x₂≤λ（x₁-x₂）≤0．
∵x₁-x₂＜0，∴0≤λ≤1．
（2）由

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

所以B、N、A三点在一条直线上．
又由（1）的结论，N在线段AB上，且与点M的横坐标相同．
对于[0，1]上的函数y=x²，A（0，0），B（1，1），
则有||

MN

||=x-x²=

1

4

-(x-

1

2

)2，故|

MN

|∈[0，

1

4

]．
对于[0，1]上的函数y=x³，则有=x-x³=g（x）．
在（0，1）上，g′（x）=1-3 x²，
可知在（0，1）上y=g（x）只有一个极大值点x=

3

3

，
所以函数y=g（x）在（0，

3

3

）上是增函数；在（

3

3

，1）上是减函数．
又g（

3

3

）=

2 3

9

，故[0，|

MN

|∈[0，

2 3

9

]]．
经过比较，

1

4

＜

2 3

9

，所以取k[

1

4

，

2 3

9

），则有函数y=x²在[0，1]上可在标准k下线性近似，函数y=x³在[0，1]上不可在标准k下线性近似．