题目内容
已知椭圆C：
的左顶点为A，M、N是C上异于A的两点，且
。
（1）直线MN是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标；
（2）求△AMN面积S的最大值。
的左顶点为A，M、N是C上异于A的两点，且。（1）直线MN是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标；
（2）求△AMN面积S的最大值。
解：（1）当直线MN的方程是y=h（h是常数）时，由点A是椭圆C的左顶点，知∠AMN＜90°，
而AM⊥AN，
所以可设MN：x=my+t（t≠-2），把它代入C的方程，得
又设M（x1，y1），N（x2，y2），得
由AM⊥AN，得
所以
MN：
得直线MN过定点
。
（2）由
得
其中
下面求z的最小值
设
得
因为当
时，z是增函数，
所以当且仅当
即m=0时，z取到最小值，
且最小值是
，即当且仅当m=0时S取到最大值，且最大值是
。
而AM⊥AN，
所以可设MN：x=my+t（t≠-2），把它代入C的方程，得
又设M（x1，y1），N（x2，y2），得
由AM⊥AN，得
所以
MN：
得直线MN过定点
。（2）由
得
其中
下面求z的最小值
设
得因为当
时，z是增函数，所以当且仅当
即m=0时，z取到最小值，且最小值是
，即当且仅当m=0时S取到最大值，且最大值是。
练习册系列答案
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相切.
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，离心率为
.
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,
，离心率
。
,
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与椭圆交于
、
两点，证明直线
与直线
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