题目内容

已知椭圆C:的左顶点为A,M、N是C上异于A的两点,且
(1)直线MN是否过定点?若过定点,求出此定点的坐标;
(2)求△AMN面积S的最大值。
解:(1)当直线MN的方程是y=h(h是常数)时,由点A是椭圆C的左顶点,知∠AMN<90°,
而AM⊥AN,
所以可设MN:x=my+t(t≠-2),把它代入C的方程,得

又设M(x1,y1),N(x2,y2),得


由AM⊥AN,得

所以
MN:
得直线MN过定点
(2)由


其中
下面求z的最小值


因为当时,z是增函数,
所以当且仅当即m=0时,z取到最小值,
且最小值是,即当且仅当m=0时S取到最大值,且最大值是
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