Question

14．项数为奇数的等差数列{a_n}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}项数为2n+1，根据等差数列的性质可得$\frac{{S}_{奇}}{{S}_{偶}}$=$\frac{n+1}{n}$=$\frac{80}{75}$解得n=15，因为S_奇-S_偶=a_n+1=a_中，所以a₁₆=S_奇-S_偶=5．

解答 解：设等差数列{a_n}项数为2n+1，
S_奇=a₁+a₃+…+a_2n+1=$\frac{（n+1）（{a}_{1}+{a}_{2n+1}）}{2}$=（n+1）a_n+1，
S_偶=a₂+a₄+a₆+…+a_2n=$\frac{n（{a}_{2}+{a}_{2n}）}{2}$=na_n+1，
∴$\frac{{S}_{奇}}{{S}_{偶}}$=$\frac{n+1}{n}$=$\frac{80}{75}$，解得n=15，
∴项数2n+1=31，
又因为S_奇-S_偶=a_n+1=a_中，
所以a₁₆=S_奇-S_偶=5，
所以中间项为5．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质，如等差数列的项数为项数为2n+1时，$\frac{{S}_{奇}}{{S}_{偶}}$=$\frac{n+1}{n}$并且S_奇-S_偶=a_n+1=a_中．