题目内容

【题目】已知函数f(x)=x3+m.
(1)试用定义证明:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若关于x的不等式f(x)≥x3+3x2﹣3x在区间[1,2]上有解,求m的取值范围.参考公式:a3﹣b3=(a﹣b)(a2+ab+b2

【答案】
(1)证明:任取x1,x2,且0<x1<x2

因为0<x1<x2,所以x2﹣x1>0, x∈

即f(x2)﹣f(x1)>0

所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增


(2)解:不等式f(x)≥x3+3x2﹣3x在区间[1,2]上有解,即不等式m≥3x2﹣3x在区间[1,2]上有解,

即m不小于3x2﹣3x在区间[1,2]上的最小值因为[1,2]时, ,所以m的取值范围是[0,+∞).


【解析】1、由定义正明函数的增减性可得函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数。
2、由题意可得不等式f(x)≥x3+3x2﹣3x在区间[1,2]上有解,即不等式m≥3x2﹣3x在区间[1,2]上有解,即m不小于3x2﹣3x在区间[1,2]上的最小值因为[1,2]时, ∈ [ 0 , 6 ] ,所以m的取范围是[0,+∞).
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网