题目内容
【题目】如下图,已知是以为圆心,以4为半径的圆上的动点,与所连线段的垂直平分线与线段交于点。
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知点坐标为(4,0),并且倾斜角为锐角的直线经过点并且与曲线相交于两点,
(ⅰ)求证:;
(ⅱ)若,求直线的方程。
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)证明见解析;(ii)。
【解析】
试题分析:(Ⅰ)借助题设条件运用椭圆的定义求解;(Ⅱ)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系求解。
试题解析:
(Ⅰ)设,则因为在线段的垂直平分线上,所以,所以。即的轨迹为以为焦点的椭圆,其长半轴为,半焦距为,所以短半轴。所以的方程是。
(Ⅱ)(ⅰ)设,,直线的方程为,则,,。则,。
所以。即。
(ⅱ)因为,所以,不妨设点在第一象限,则,,所以,;即
所以是方程,即方程的两个根,所以,,所以,.又倾斜角为锐角,所以,所以直线的方程为。
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