Question

设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为0的实数.

(1)若x=a+(t²-3)b与y=-ka+tb垂直，求k关于t的函数关系式k=f(t);

(2)试确定k=f(t)的单调区间.

Answer 1

解：(1)由题意，a⊥b，

∴a·b=0.

    又x⊥y，∴x·y=0,

    即［a+(t²-3)b］·(-ka+tb)=0.

∴-ka²+［t-k(t²-3)］a·b+t(t²-3)b²=0.

    由于a²=|a|²=4，b²=|b|²=1，∴4k=t(t²-3)，即k=t(t²-3)=(t³-3t).

(2)设t₁＜t₂,则f(t₁)-f(t₂)=［(t₁³-t₂³)-3(t₁-t₂)］=(t₁-t₂)(t₁²+t₂²+t₁t₂-3).

①当t₁＜t₂≤-1时，t₁t₂＞1,t₁²＞1,t₂²≥1,即t₁²+t₂²+t₁t₂-3＞0,而t₁-t₂＜0,故f(t₁)＜f(t₂),即(-∞,-1］为k=f(t)的单调增区间.

②当1≤t₁＜t₂时，t₁t₂＞1,t₁²≥1,t₂²＞1，即t₁²+t₂²+t₁t₂-3＞0,而t₁-t₂＜0,故f(t₁)＜f(t₂),即［1,+∞)为k=f(t)的单调增区间.

③当-1＜t₁＜t₂＜1时，t₁²＜1,t₂²＜1,t₁t₂＜1,则t₁²+t₂²+t₁t₂-3＜0,而t₁-t₂＜0,∴f(t₁)＞f(t₂),即(-1,1)为k=f(t)的单调减区间.

    综合①②③，知k=f(t)的单调减区间为(-1,1)，单调增区间为(-∞,-1］，［1，+∞).