题目内容
设
。
(1)求f(x)的表达式;
(2)设函数g(x)=ax2-
+ f(x),则是否存在实数a,使得g(x)为奇函数?说明理由;
(3)解不等式f(x)-x>2。

(1)求f(x)的表达式;
(2)设函数g(x)=ax2-

(3)解不等式f(x)-x>2。
解:(1)∵
,
∴
。
(2)∵g(x)=ax2+2x的定义域为(0,+∞),
又g(1)=2+a,g(-1)不存在,
显然g(1)≠g(-1),
∴不存在实数a,使得g(x)为奇函数。
(3)∵f(x)-x>2,
∴f(x)-x-2>0,
即
+x-2>0,有x3-2x2+1>0,
于是(x3-x2)-(x2-1)>0,
化简,得(x-1)(x2-x+1)>0,
∴(x-1)(x-
)(x-
)>0,
又x>0,
∴解得:0<x<1或
,
因此原不等式的解集为{x0<x<1或
}。

∴

(2)∵g(x)=ax2+2x的定义域为(0,+∞),
又g(1)=2+a,g(-1)不存在,
显然g(1)≠g(-1),
∴不存在实数a,使得g(x)为奇函数。
(3)∵f(x)-x>2,
∴f(x)-x-2>0,
即

于是(x3-x2)-(x2-1)>0,
化简,得(x-1)(x2-x+1)>0,
∴(x-1)(x-


又x>0,
∴解得:0<x<1或

因此原不等式的解集为{x0<x<1或


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