题目内容

定义函数F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞）．
（1）令函数f（x）=F[1， $数学公式$ ]的图象为曲线C₁求与直线4x+15y-3=0垂直的曲线C₁的切线方程；
（2）令函数g（x）=F[1， $数学公式$ ]的图象为曲线C₂，若存在实数b使得曲线C₂在x₀（x₀∈（1，4））处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；
（3）当x，y∈N^*，且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．

解：（1）f（x）=F $\text{[math]}$ =x³-3x，
由 $\text{[math]}$ ，得x³-3x＞1．又 $\text{[math]}$ ，由f′（x）=0，得x= $\text{[math]}$ ，
∵x³-3x＞1，∴x= $\text{[math]}$ ．又f（- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，∴切点为（ $\text{[math]}$ ）．
∴存在与直线4x+15y-3=0垂直的切线，其方程为 $\text{[math]}$ ，即15x-4y+27=0．
（2）g（x）= $\text{[math]}$ =x³+ax²+bx+1．
由 $\text{[math]}$ ＞0，得x³+ax²+bx＞0，
由g′（x）=3x²+2ax+b=-8，得b=-3x²-2ax-8，
x³+ax²+bx=x³+ax²+x（-3x²-2ax-8）=-2x³-ax²-8x＞0在（1，4）上有解，
∴2x²+ax+8＜0在（1，4）上有解，即a $\text{[math]}$ 在（1，4）上有解，∴a $\text{[math]}$ （1＜x＜4），
而-2x- $\text{[math]}$ =-（2x+ $\text{[math]}$ ）≤-2 $\text{[math]}$ =-8，当且仅当x=2时取等号，∴a＜-8．
故实数a的取值范围为（-∞，-8）．
证明：（3）F（x，y）＞F（y，x）?（1+x）^y＞（1+y）^x?yln（1+x）＞xln（1+y）? $\text{[math]}$ ，
令h（x）= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，当x≥2时， $\text{[math]}$ ，
∴h′（x）＜0，h（x）单调递减．
∴当2≤x＜y时，h（x）＞h（y），又当x=1且y=2时，h（1）=ln2 $\text{[math]}$ ．
故当x，y∈N^*，且x＜y时，h（x）＞h（y），即F（x，y）＞F（y，x）．
分析：（1）由函数F（x，y）的定义可求得f（x），根据垂直关系可得切线斜率即f′（x）值，从而可求得切点坐标，求出切线方程．
（2）曲线C₂在x₀（x₀∈（1，4））处存在斜率为-8的切线，即g′（x₀）=-8有解，由已知消去b转化为关于a，x的不等式即可解得．
（3）F（x，y）＞F（y，x）?（1+x）^y＞（1+y）^x?yln（1+x）＞xln（1+y）? $\text{[math]}$ ，构造函数h（x）= $\text{[math]}$ ，利用导数判断h（x）单调递减即可．
点评：本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，运用所学知识解决新问题的能力．