题目内容

11．设三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+1的导函数为f′（x）=3ax（x-2），若a＞$\frac{1}{4}$，则函数y=f（x）的零点个数为（　　）
A．0B．1C．2D．3

分析 根据导数的公式求出a，b，c的关系以及函数的解析式，求函数的极值，根据极值和零点的关系进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=ax3+bx2+cx+1，
∴f′（x）=3ax2+2bx+c
又∵f′（x）=3ax（x-2）=3ax2-6ax，
∴2b=-6a，c=0，即b=-3a，c=0，
则f（x）=ax3-3ax2+1，
∵a＞$\frac{1}{4}$，
∴-4a+1＜0，
∴f（2）=8a-12a+1＜0，
又f（0）=1＞0，
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：

x （-∞，0）0（0，2）2（2，+∞） 
f′（x） +0-0+
f（x） ↑  ↓  ↑ 
画出示意图如右图，
故选：D．

点评 本题主要考查求函数零点的个数，求函数的导数，利用函数极值和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．

练习册系列答案
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