Question

已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为

2

的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）

Answer 1

分析：根据题意，设点A和B分别是（a，a）和（a+1，a+1），直线PA的方程是y-2=

a-2

a+2

(x+2)(a≠-2)(1)，直线QB的方程是y-2=

a-1

a+1

x(a≠-1)(2)．当

a-2

a+2

=

a-1

a+1

，即a=0时，直线PA和QB平行，无交点；当a≠0时，直线PA与QB相交，
设交点为M（x，y），y-2=(1-

2

a+1

)x，a+1=

2x

x-y+2

，∴a+2=

3x-y+2

x-y+2

，a-2=

3y-x-6

x-y+2

.由此能得到直线PA和QB的交点M的轨迹方程．

解答：解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长

2

，
所以可设点A和B分别是（a，a）和（a+1，a+1），其中a为参数
于是可得：直线PA的方程是y-2=

a-2

a+2

(x+2)(a≠-2)(1)
直线QB的方程是y-2=

a-1

a+1

x(a≠-1)(2)
（1）当

a-2

a+2

=

a-1

a+1

，即a=0时，
直线PA和QB平行，无交点
（2）当a≠0时，直线PA与QB相交，
设交点为M（x，y），由（2）式得y-2=(1-

2

a+1

)x，a+1=

2x

x-y+2

，
∴a+2=

3x-y+2

x-y+2

，a-2=

3y-x-6

x-y+2

.
将上述两式代入（1）式，得
y-2=

3y-x-6

3x-y+2

(x+2)整理得x²-y²+2x-2y+8=0，
即

(x+1)2

8

-

(y+1)2

8

=-1(*)
当a=-2或a=-1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式
所以（*）式即为所求动点的轨迹方程．

点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细分析，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选取公式．