Question

设O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F₁PF₂=30°，|OP|=

7

a，则该双曲线的渐近线方程为？

Answer 1

分析：要求渐近线方程，即要求a，b的关系，首先由定义和余弦定理得到一个关系，再由中线长公式得到一个关系，联立可得．

解答：解：设|PF₁|=x，|PF₂|=y，且x＞y 则x-y=2a 由余弦定理

1

2

=

x2+y2-4c2

2xy

∴x²+y²-xy=4c²∵中线长公式OP²=

1

2

（PF₁²+PF₂²-

1

2

F₁F₂²） 7a²=

1

2

（x²+y²-2c²）
∴xy=4b²x²+y²=4（b²+c²） 7a²=2（b²+c²）-c²2a²=b²渐进线方程为：y²=2x²

点评：本题主要考查双曲线的定义，余弦定理及中线长公式，体现了在解题中要灵活运用转化知识．