题目内容
某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产一百台,需要新增加投入2.5万元.经调查,市场一年对此产品的需求量为500台;销售收入为R(t)=6t﹣t2(万元),(0<t≤5),其中t是产品售出的数量(单位:百台).(说明:①利润=销售收入﹣成本;②产量高于500台时,会产生库存,库存产品不计于年利润.)
(1)把年利润y表示为年产量x(x>0)的函数;
(2)当年产量为多少时,工厂所获得年利润最大?
解:(1)当0<x≤5时,f(x)=6x﹣x2﹣0.5﹣2.5x=﹣
x2+3.5x﹣0.5 ,
当x>5时,f(x)=6×5﹣×52﹣0.5﹣2.5x=17﹣2.5x ,
即f(x)= 。
(2)当0<x≤5时,f(x)=﹣(x2﹣7x+1)=﹣
(x﹣
)2+
,
∴当x=3.5∈(0,5]时,f(x)max==5.625 。
当x>5时,f(x)为(5,+∞)上的减函数,
f(x)<f(5)=17﹣2.5×5=4.5,又5.625>4.5 ,,
∴f(x)max=f(3.5)=5.625 。
故当年产量为350台时,工厂所获年利润最大。

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