Question

已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若A、B、C成等差数列，b=1，记角A=x，a+c=f （x）．
（Ⅰ）当x∈[

π

6

，

π

3

]时，求f （x）的取值范围；
（Ⅱ）若f(x-

π

6

)=

6

5

，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据A、B、C成等差数列和三角形内角和，求得B，进而利用正弦定理求得b，进而把a和c的表达式代入函数，利用两角和公式化简整理求得函数的解析式，进而根据x的范围利用正弦函数的性质求得函数的最大和最小值．
（Ⅱ）把x-

π

6

代入函数解析式，求得sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，代入正弦函数的二倍角公式中即可求得答案．

解答：解：（I）由已知A、B、C成等差数列，得2B=A+C，
∵在△ABC中，A+B+C=π，于是解得B=

π

3

，A+C=

2π

3

．
∵在△ABC中，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，b=1，
∴a+c=

1

sin π 3

•sinA+

1

sin π 3

sinC=

2 3

3

[sinA+sin(

2π

3

-A)]
=

2 3

3

[sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA]=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)，
即f(x)=2sin(x+

π

6

)．
由

π

6

≤x≤

π

3

得

π

3

≤x+

π

6

≤

π

2

，于是

3

≤f（x）≤2，
即f（x）的取值范围为[

3

，2]．

（Ⅱ）∵f(x-

π

6

)=2sin(x-

π

6

+

π

6

)=

6

5

，即sinx=

3

5

．
∴cosx=±

1-sin2x

=±

4

5

．
若cosx=-

4

5

，此时由-

4

5

＜-

2

2

知x＞

3π

4

，这与A+C=

2π

3

矛盾．
∴x为锐角，故cosx=

4

5

．
∴sin2x=2sinxcosx=

24

25

．

点评：本题主要考查了三角函数的定义域和值域．两角和公式的化简求值等．考查了学生对基础知识的综合运用．属基础题．