Question

已知直线与圆相切，若对任意的m，n∈R⁺均有不等式2m+n≥k成立，那么正整数k的最大值是（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9

Answer 1

【答案】分析：利用圆心（3，）到直线（m+1）x+（n+）y-=0的距离等于半径，令2m+n=t，求得t的最小值即为正整数k的最大值．
解答：解：∵直线（m+1）x+（n+）y-=0与圆（x-3）²+=5相切，
∴圆心（3，）到直线（m+1）x+（n+）y-=0的距离d等于半径，
即d==，
∴=，
两端平方，整理得：4m²+n²-5（2m+n）-=-6mn，
即（2m+n）²-5（2m+n）-=（4-6）mn．
∴（3-2）•2mn=+5（2m+n）-（2m+n）²≤（3-2）•，
令t=2m+n（t＞0），
则（3+2）t²-20t-25≥0，
∵△=（-20）²-4×（-25）×（3+2）=600+300，
∴t≥=，
∴t_min=∈（3，4），
∵正整数k≤2m+n=t恒成立，
∴k=3．
故选A．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，突出考查点到直线间的距离及运算能力，考查转化思想与方程思想的综合应用，属于难题．