题目内容
已知椭圆
的方程为
，双曲线
的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点，
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线
与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且
与的两个交点A和B满足
（其中0为原点），求k的取值范围。
【答案】
（1）
；（2）
【解析】
试题分析：（1）有椭圆方程中读出其长轴长，焦距长，根据题意得出双曲线的长轴长，和焦距长，即可求出双曲线方程。（2）因为直线l与两曲线均有两个不同交点，故联立方程后整理出的一元二次方程均有两根，即判别式均大于0，再根据向量数量积公式列出关于K 的不等式，三个不等式取交集。
试题解析：（1）设双曲线
的方程为
，由椭圆
的方程
知，其长轴长为4，焦距长为
，则由题意知双曲线中
，
，所以
，故的方程为。
（2）将
代入，整理得
，由直线
与椭圆恒有两个不同的交点得
即
，
将代入，整理得
，由直线与双曲线恒有两个不同的交点得
，解得
。
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范围为
考点：圆锥曲线方程基础知识，直线与圆锥曲线的位置关系，向量数量积公式
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的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆
的长轴端点、焦点，则双
B．
C．
D．
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．