题目内容

与圆类似，连接圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦．过有心曲线（椭圆、双曲线）中心（即对称中心）的弦叫做有心曲线的直径．对圆x²+y²=r²，由直径所对的圆周角是直角出发，可得：若AB是圆O的直径，M是圆O上异于A、B的一点，且AM，BM均与坐标轴不平行，则k_AM•k_BM=-1．类比到椭圆

=1，类似结论是

若AB是椭圆

=1的直径，M是椭圆上异于A、B的一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则k_AM•k_BM=-

．

若AB是椭圆

=1的直径，M是椭圆上异于A、B的一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则k_AM•k_BM=-

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分析：本题考查的知识点是类比推理，由圆的性质类比猜想椭圆的类似性质，一般的思路是：点到点，线到线，直径到直径等类比后的结论应该为关于椭圆的一个类似结论．

解答：解：定理：如果圆x²+y²=r²（r＞0）上异于一条直径两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的都斜率存在，则这两条直线的斜率乘积为定值-1，即k_AM•k_BM=-1．
运用类比推理，写出该定理在椭圆

=1中的推广：若AB是椭圆

=1的直径，M是椭圆上异于A、B的一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则k_AM•k_BM=-

．
故答案为：若AB是椭圆

=1的直径，M是椭圆上异于A、B的一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则k_AM•k_BM=-

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点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

练习册系列答案

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圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x₀，y₀）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）．
（Ⅰ）试用x₀，y₀，m，n的代数式分别表示x_E和x_F；
（Ⅱ）已知“若点P（x₀，y₀）是圆C：x²+y²=R²上的任意一点（
x₀•y₀≠0），MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），则xE•xF=R2”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为

=1(a＞b＞0)（如图），则x_E•x_F也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．

与圆类似，连结圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦．过有心曲线(椭圆、双曲线)中心(即对称中心)的弦叫做有心曲线的直径．对圆x²＋y²＝r²，由直径所对的圆周角是直角出发，可得：若AB是圆O的直径，M是圆O上异于A、B的一点，且AM，BM均与坐标轴不平行，则k_AM·k_BM＝－1．类比到椭圆，类似结论是________

与圆类似，连接圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦．过有心曲线（椭圆、双曲线）中心（即对称中心）的弦叫做有心曲线的直径．对圆x²+y²=r²，由直径所对的圆周角是直角出发，可得：若AB是圆O的直径，M是圆O上异于A、B的一点，且AM，BM均与坐标轴不平行，则k_AM•k_BM=-1．类比到椭圆 $数学公式$ ，类似结论是________
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=1，类似结论是______
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