题目内容
【题目】已知函数的定义域为
,对于任意实数
,
,都有
,当
时,
.
(1)求的值;
(2)证明:当时,
.
(3)证明:在
上单调递减.
(4)若对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析;(4)
.
【解析】
(1)令,
,化简后可得
的值.
(2)设,由题设可得
,从而得到
,结合
可得
.
(3)利用单调性的定义可证在
上单调递减.
(4)原不等式等价于,利用单调性和(1)中的结论可得
对任意的
恒成立,参变分离后可求
的取值范围.
(1)令,
,∴
,
∵时,
,∴
,∴
.
(2)设,
,则
,
∴,∵
,∴
,即
.
(3)任取,且
,
则
,
∵,∴
,∴
,
又∵,∴
,即
,
∴,∴
在
上单调递减.
(4),∴
,
令,则
,故
在
上恒成立,
所以在
上恒成立,
由基本不等式可得,当且仅当
等号成立,
故即
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】某商场经营一批进价为30元/件的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下表所示的关系.
x | … | 30 | 40 | 45 | 50 | … |
y | … | 60 | 30 | 15 | 0 | … |
(1)根据表中提供的数据描出实数对的对应点,根据画出的点猜想y与x之间的函数关系,并写出一个函数解析式;
(2)设经营此商品的日销售利润为P(单位:元),根据上述关系,写出P关于x的函数解析式,并求销售单价为多少元时,才能获得最大日销售利润?