Question

已知焦点在x轴上，对称轴为坐标轴的椭圆的离心率为

1

2

，且以该椭圆上的点和椭圆的两焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为6，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点N（1，0）斜率为k直线l与椭圆相交于A、B两点，若-

18

7

≤

NA

•

NB

≤-

12

5

，求直线l斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接利用离心率为

1

2

，以及三角形的周长为6列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得椭圆的标准方程；
（2）先设直线l的方程为y=k（x-1），再把直线方程与椭圆的标准方程联立求出A、B两点的坐标与k之间的关系，代入-

18

7

≤

NA

•

NB

≤-

12

5

，整理后即可直线l斜率k的取值范围．

解答：解：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
依题有2a+2c=6，即a+c=6，又因为e=

c

a

=

1

2

，
所以a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
所以椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1(a＞b＞0)
（2）设过点N（1，0）的斜率为k直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx-k x2 4 + y2 3 =1

可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

∵

NA

•

NB

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+k2)(x1-1)(x2-1)
=（1+k²）[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]
=

-9(1+k2)

3+4k2

，
∴-

18

7

≤

-9(1+k2)

3+4k2

≤-

12

5

，得1≤k2≤3，
∴-

3

≤k≤-1或1≤k≤

3

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，韦达定理是一个必不可少的工具，比如本题的第二问．