题目内容
当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：
（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；
（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；
（3）第n年时，兔子数量Rn用表示，狐狸数量用Fn表示；
（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有R0=100只，狐狸数量有F0=30只．
请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型；
（2）求出Rn、Fn关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由．
（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；
（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；
（3）第n年时，兔子数量Rn用表示，狐狸数量用Fn表示；
（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有R0=100只，狐狸数量有F0=30只．
请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型；
（2）求出Rn、Fn关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由．
分析：（1）根据兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍，可得
(n≥1)
（2）利用矩阵，求出矩阵的特征多项式，从而可求矩阵的特征值、特征向量，由此可求Rn、Fn关于n的关系式；
（3）当n越来越大时，0.95n越来越接近于0，Rn，Fn分别趋向于常量210，140．由此可知，时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．
|
（2）利用矩阵，求出矩阵的特征多项式，从而可求矩阵的特征值、特征向量，由此可求Rn、Fn关于n的关系式；
（3）当n越来越大时，0.95n越来越接近于0，Rn，Fn分别趋向于常量210，140．由此可知，时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．
解答：解：（1）∵兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍
∴
(n≥1)…4’
（2）设
=
，M=
∴
=M
=M(M
)=…=Mn
又矩阵M的特征多项式f(λ)=
=λ2-1.95λ+0.95=（λ-1）（λ-0.95）
令f（λ）=0得：λ1=1，λ2=0.95
特征值λ1=1对应的一个特征向量为
=
特征值λ2=0.95对应的一个特征向量为
=
…6’
且
=
=70
-110
=70
-110
∴
=Mnα0=70
-110
=70
-110•0.95n
=
∴
…14’
（3）当n越来越大时，0.95n越来越接近于0，Rn，Fn分别趋向于常量210，140．即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．…2’
∴
|
（2）设
| αn |
|
|
|
∴
| αn |
| αn-1 |
| αn-2 |
| α∞ |
又矩阵M的特征多项式f(λ)=
|
|
令f（λ）=0得：λ1=1，λ2=0.95
特征值λ1=1对应的一个特征向量为
| α1 |
|
特征值λ2=0.95对应的一个特征向量为
| α2 |
|
且
| α0 |
|
|
|
| α1 |
| α2 |
∴
| αn |
| λ | n 1 |
| α1 |
| λ | n 2 |
| α2 |
|
|
|
∴
|
（3）当n越来越大时，0.95n越来越接近于0，Rn，Fn分别趋向于常量210，140．即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．…2’
点评：本题以实际问题为载体，考查矩阵的运用，考查特征值与特征向量，考查利用数学知识解决实际问题．
练习册系列答案
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用表示，狐狸数量用
表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有
只，狐狸数量有
只。请用所学知识解决如下问题：
、