题目内容

已知f(x)=
a•2x+a-22x+1
(x∈R),若f(x)满足f(-x)=-f(x),
(1)求实数a的值;        
(2)判断函数的单调性,并加以证明.
分析:(1)由f(0)=0可得a值;(2)可得函数为增函数,用定义法证明即可.
解答:解:(1)由题意可取x=0代入可得f(0)=-f(0),即f(0)=0,
f(0)=
a•20+a-2
20+1
=a-1=0,解得a=1;
(2)由(1)知,函数f(x)=
2x-1
2x+1
,可得函数为R上的增函数,
证明如下:?x1,x2∈R,且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=
2x1-1
2x1+1
-
2x2-1
2x2+1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0,
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
<0,即f(x1)<f(x2),
故函数为R上的增函数
点评:本题考查函数的单调性的判断与证明,以及属的奇偶性,属基础题.
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