题目内容
已知f(x)=
(x∈R),若f(x)满足f(-x)=-f(x),
(1)求实数a的值;
(2)判断函数的单调性,并加以证明.
a•2x+a-2 | 2x+1 |
(1)求实数a的值;
(2)判断函数的单调性,并加以证明.
分析:(1)由f(0)=0可得a值;(2)可得函数为增函数,用定义法证明即可.
解答:解:(1)由题意可取x=0代入可得f(0)=-f(0),即f(0)=0,
故f(0)=
=a-1=0,解得a=1;
(2)由(1)知,函数f(x)=
,可得函数为R上的增函数,
证明如下:?x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
-
=
,
∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0,
故
<0,即f(x1)<f(x2),
故函数为R上的增函数
故f(0)=
a•20+a-2 |
20+1 |
(2)由(1)知,函数f(x)=
2x-1 |
2x+1 |
证明如下:?x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
2x1-1 |
2x1+1 |
2x2-1 |
2x2+1 |
2(2x1-2x2) |
(2x1+1)(2x2+1) |
∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0,
故
2(2x1-2x2) |
(2x1+1)(2x2+1) |
故函数为R上的增函数
点评:本题考查函数的单调性的判断与证明,以及属的奇偶性,属基础题.

练习册系列答案
相关题目
已知f(x)=
在点x=3处连续,则常数a的值为( )
|
A、-1 | B、3 | C、5 | D、2 |
已知f(x)=
,若|f(x)|≥ax在x∈[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围( )
|
A、(-∞-1]∪[0,+∞) |
B、[-1,0] |
C、[0,1] |
D、[-1,0) |