Question

已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.

(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；

(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．

 

Answer 1

（1）f(x)min＝（2）a≤4（3）见解析

【解析】(1)【解析】
f′(x)＝lnx＋1，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

①当0<t<t＋2<时，t无解；②当0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)min＝f＝－；

③当≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tlnt，

所以f(x)min＝.

(2)【解析】
由题意，要使2xlnx≥－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋恒成立．

设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝＋1－.

当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．

所以x＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值，

即[h(x)]min＝h(1)＝4，所以a≤4.

(3)证明：问题等价于证明xlnx>－，x∈(0，＋∞)．

由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上最小值是－，

当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝，

易得[m(x)]max＝m(1)＝－，

当且仅当x＝1时取得，

从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立