Question

已知AD是△ABC边BC的中线，用坐标法证明：|AB|²+|AC|²=2（|AD|²+|DC|²）$\end{array}$．

Answer 1

【答案】分析：以D为坐标原点、BC所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设C（c，0），B（-c，0），A（a，b），分别计算出|AB|²、
|AC|²、|AD|²和|DC|²关于a、b、c的式子，再进行比较即可证出原等式成立．
解答：解：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图坐标系
设C（c，0），B（-c，0），A（a，b）
∴|AB|²=（a+c）²+b²，|AC|²=（a-c）²+b²
可得：|AB|²+|AC|²=[（a+c）²+b²]+[（a-c）²+b²]=2（a²+b²+c²）
∵|AD|²=a²+b²，|AC|²=c²．
∴2（|AD|²+|AC|²）=2（a²+b²+c²）
因此，|AB|²+|AC|²=2（|AD|²+|AC|²），原命题得证
点评：本题给出三角形的中线，求证与之相关的一个平方等式成立．着重考查了三角形中线的性质和运用坐标法证明几何性质等知识，属于基础题．