Question

已知向量

a

=（

1

2

，

3

2

），

b

=（cosx，sinx），x∈（0，

π

2

）．
（1）若

a

∥

b

，求sinx和cos2x的值；
（2）若

a

•

b

=2cos（

12kπ+13π

6

+x）（k∈Z），求tan（x+

5π

12

）的值．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，根据平面向量共线（平行）的坐标表示列出关系式，整理后利用同角三角函数间的基本关系求出cos²x的值，由x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，同时再利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos²x的值代入即可求出cos2x的值；
（2）由平面向量的数量积运算法则计算

a

•

b

后，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，代入已知的等式的左边，等式右边变形后利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系求出tan（x+

π

6

）的值，把所求式子中的角度x+

5π

12

变形为（x+

π

6

）+

π

4

后，再利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将求出的tan（x+

π

6

）的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，向量

a

=（

1

2

，

3

2

），

b

=（cosx，sinx），
∴

1

2

sinx=

3

2

cosx，即sinx=

3

cosx，
又∵sin²x+cos²x=1，
∴cos²x=

1

4

，又∵x∈（0，

π

2

），
∴sinx=

1-cos2x

=

1- 1 4

=

3

2

，
cos2x=2cos²x-1=

1

2

-1=-

1

2

；
（2）∵

a

•

b

=

1

2

cosx+

3

2

sinx=cos

π

6

sinx+sin

π

6

cosx=sin（x+

π

6

），
而2cos（x+

12kπ+13π

6

）=2cos（2kπ+x+

π

6

+2π）=2cos（x+

π

6

）（k∈Z），
于是sin（x+

π

6

）=2cos（x+

π

6

），即tan（x+

π

6

）=2，
∴tan（x+

5π

12

）=tan[（x+

π

6

）+

π

4

]
=

tan(x+ π 6 ) +tan π 4

1-tan(x+ π 6 ) tan π 4

=

2+1

1-2×1

=-3．

点评：此题考查了两角和与差的正切、正弦函数公式，诱导公式，平面向量的数量积运算法则，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．