Question

如图，已知直线OP₁、OP₂为双曲线E的渐近线，△P₁OP₂的面积为,在双曲线E上有一点P为线段P₁P₂的一个三等分点，且双曲线的离心率为.

（1）若P₁、P₂点的横坐标分别为x₁、x₂,则x₁、x₂之间满足怎样的关系？并证明你结论；

（2）求双曲线E的方程；

（3）设双曲线E上的动点M，两焦点为F₁，F₂，若MF₁与MF₂的夹角为钝角，求M点横坐标x₀的取值范围.

Answer 1

解:(1)由e²==1+()²=()²,得=.

∴两渐近线OP₁、OP₂的方程分别为y=x和y=-x.

设点P₁（x₁,x₁）、点P₂(x₂,-x).

设∠P₁OP₂=2α,则tanα=,∴sin2α=

cos2α=

又S_△OP1P2=||||sin2α=·||||=,

∴||||=.

∴·=||||cos2α=×()==x₁x₂x₁x₂=·x₁x₂,即x₁x₂=.

(2)由点P为线段的一个三等分点可知，点P分所成的比λ=2,

∴P点坐标为（）,即().

设P(x,y),则x=且y=,即x₁+2x₂=3x且x₁-2x₂=2y,

∴(3x)²-(2y)²=(x₁+2x₂)²-(x₁-2x₂)²=8x₁x₂=36,即=1.

(3)由(2)知c=,∴F₁(,0),

F₂(,0),y₀²=-9,

∴·=||||cos＜,＞=(-x₀,-y₀)·(-x₀,-y₀)=x₀²-13+y₀²=x₀²-13+-9=-22＜0,即|x₀|＜.

又|x₀|＞2,

故x₀的取值范围为（-，-2）∪(2,).