题目内容

已知点P是圆M：x2+（y+m）2=8（m＞0，m≠
2
）上一动点，点N（0，m）是圆M所在平面内一定点，线段NP的垂直平分线l与直线MP相交于点Q．
（Ⅰ）当P在圆M上运动时，记动点Q的轨迹为曲线Γ，判断曲线Γ为何种曲线，并求出它的标准方程；
（Ⅱ）过原点斜率为k的直线交曲线Γ于A，B两点，其中A在第一象限，且它在y轴上的射影为点C，直线BC交曲线Γ于另一点D，记直线AD的斜率为k′．是否存在m，使得对任意的k＞0，都有|k•k′|=1？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
分析：（I）利用垂直平分线的性质可得|QN|=|QP|，进而得到||QM|-|QN||=|PM|=2
2
．利用双曲线的定义即可得出轨迹；
（II）设A（x1，y1），D（x0，y0）．则B（-x1，-y1），C（x1，0）．则y1=kx1．直线BC的方程为y=
y1
2x1
(x-x1)，即y=
k
2
(x-x1)．与双曲线的方程联立得到根与系数的关系，利用斜率计算公式即可得出k′，解出|kk′|=1即可．
解答：解：（I）∵|QN|=|QP|，∴||QM|-|QN||=|PM|=2
2
．
①当2
2
＜2m时，动点Q的轨迹曲线Γ为以点M，N为焦点，2a=2
2
为实轴的双曲线上，其标准方程为
y2
2
-
x2
m2-2
=1．
②当2
2
＞2m时，动点Q无轨迹．
（II）如图所示，
设A（x1，y1），D（x0，y0）．则B（-x1，-y1），C（x1，0）．
则y1=kx1．
直线BC的方程为y=
y1
2x1
(x-x1)，即y=
k
2
(x-x1)．
联立
y=
k
2
(x-x1)
y2
2
-
x2
m2-2
=1
，化为（m2k2-2k2-8）x2-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2
x
2
1
-8)=0．
∴-x1+x0=
2k2x1(m2-2)
m2k2-2k2-8
，
∴k′=
y0-y1
x0-x1
=
k
2
(x0-x1)-kx1
x0-x1
=
k
2
-
m2k2-2k2-8
2k(m2-2)
．
若存在m，使得对任意的k＞0，都有|k•k′|=1．
则|kk′|=1，∴|
k2
2
-
m2k2-2k2-8
2m2-4
|=1，
化为m2=6，解得m=±
6
．
因此存在m，且当m=±
6
时，满足题意．
点评：熟练正确双曲线的定义、直线与双曲线相交问题转化为直线方程与双曲线的方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等是解题的关键．
练习册系列答案
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NM
∥
OQ
，
QM
•
OQ
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AF
=λ
FB
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OF
⊥(
EA
-λ
EB
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