题目内容
(本小题满分14分)
已知函数

.
(Ⅰ)当

时,求函数

的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数

,使

恒成立,若存在,求出实数

的取值范围;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)(1)

的单调增区间为

和

,单调减区间为
(2)当

时,

,

的单调增区间为
(Ⅱ)

时,使

恒成立.
(1)先求出

,根据定义域

,然后讨论对a进行讨论确定单调区间。
(2)解本题的关键是

恒成立可转化为

恒成立,
令

,则只需

在

恒成立即可.然后再利用导数研究其最值,问题得解。
解:(Ⅰ)函数

的定义域为

,

…………………………2分
(1)当

时,由

得,

或

,由

得,
故函数

的单调增区间为

和

,单调减区间为

…………4分
(2)当

时,

,

的单调增区间为

…………………………5分
(Ⅱ)

恒成立可转化为

恒成立,
令

,则只需

在

恒成立即可,………6分

当

时,在

时,

,在

时,


的最小值为

,由

得

,
故当

时

恒成立, ……………………………………9分
当

时,

,

在

不能恒成立,……………11分
当

时,取

有

在

不能恒成立,…13分
综上所述当

时,使

恒成立. ………………………14分
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