题目内容

若曲线y=x3-2ax2+2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求整数a的值．
分析：求出曲线解析式y=x3-2ax2+2ax的导函数，即为曲线在任意点处切线的斜率，由切线得到倾斜角恒为锐角得到切线的斜率恒大于0，根据切线的斜率为关于x的二次函数，且为开口向上的抛物线，得到根的判别式小于0，列出关于a的不等式，求出不等式解集中的整数解即为a的值．
解答：解：∵曲线y=x3-2ax2+2ax，
∴该曲线上任意点处切线的斜率k=y′=3x2-4ax+2a．
又∵切线的倾斜角都是锐角，
∴k＞0恒成立，即3x2-4ax+2a＞0恒成立．
∴△=（-4a）2-4×3×2a=16a2-24a＜0，
∴0＜a＜
3
2
．
又∵a∈Z，
∴a=1．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，求a的值；
（2）当a=-2时，求f（x）的单调区间．
已知函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，求a的值
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上不单调，求实数a的取值范围；
（3）求所有的实数a，使得f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．
命题：
（1）若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域是[a-1，2a]，则f（x）在区间(-
2
3
，-
1
3
)是减函数．
（2）如果一个数列{an}的前n项和Sn=abn+c，(a≠0，b≠1，c≠1)则此数列是等比数列的充要条件是a+c=0．
（3）曲线y=x3+x+1过点（1，3）处的切线方程为：4x-y-1=0．
（4）已知集合P∈{（x，y）|y=k}，Q∈{（x，y）|y=ax+1，a＞0且a≠1}，若P∩Q只有一个子集．则k＜1．
以上四个命题中，正确命题的序号是
（1）（2）
（1）（2）
．
已知函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，求a的值
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上不单调，求实数a的取值范围；
（3）求所有的实数a，使得f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．
命题：
（1）若f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域是[a-1，2a]，则f（x）在区间是减函数．
（2）如果一个数列{an}的前n项和则此数列是等比数列的充要条件是a+c=0．
（3）曲线y=x3+x+1过点（1，3）处的切线方程为：4x-y-1=0．
（4）已知集合P∈{（x，y）|y=k}，Q∈{（x，y）|y=ax+1，a＞0且a≠1}，若P∩Q只有一个子集．则k＜1．
以上四个命题中，正确命题的序号是    ．

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