题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ 的一条准线方程为l：x=- $数学公式$ ，且左焦点F到的l距离为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于两点A、B、交l于点M，若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，证明λ₁+λ₂为定值．

解：（Ⅰ）依题意有 $\text{[math]}$ ，解方程组得 $\text{[math]}$
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ +y²=1．
（Ⅱ）依题意可知直线AB的斜率存在，
当斜率为0时，直线y=0和椭圆交于A（- $\text{[math]}$ ，0），B（ $\text{[math]}$ ，0），和直线l交于M（- $\text{[math]}$ ，0）点，
则易知λ₁+λ₂=0．
当斜率不为0时，可设直线AB方程为x=my-2（m≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），由 $\text{[math]}$ 得（m²+5）y²-4my-1=0，
由根与系数的关系得y₁+y₂= $\text{[math]}$ ，y₁y₂=- $\text{[math]}$ ，
又∵ $\text{[math]}$ ∴y₁+ $\text{[math]}$ =-λ₁y₁，λ₁=- $\text{[math]}$ -1，同理λ₂=- $\text{[math]}$ -1
∴λ₁+λ₂=-2- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-2- $\text{[math]}$ （-4m）=0
∴λ₁+λ₂为定值
综上所述λ₁+λ₂为定值
分析：（Ⅰ）利用准线方程求得a和c的关系式，左焦点F到的l距离求得a和c的另一关系式，进而与a²=b²+c²联立方程求得a，b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）先看当斜率为0时，可求得A，B和M的坐标，则λ₁+λ₂可求得；再看当斜率不为0时，可设直线AB方程与椭圆的方程联立，求得y₁+y₂和y₁y₂的表达式，分别求得λ₁和λ₂的表达式，则λ₁+λ₂的值可求．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，平时应作为重点来复习．