题目内容

关于函数f(x)=4sin(2x+
π
3
)，(x∈R)有下列命题：
①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；
②f（x）的表达式可改写为f(x)=4cos(2x-
π
6
)；
③f（x）的图象关于点(-
π
6
，0)对称；
④f（x）的图象关于直线x=
π
3
对称；
⑤f（x）在区间(-
π
3
，
π
12
)上是增函数；其中正确的是
 
．（请将所有正确命题的序号都填上）
分析：通过举反例，当x1=-
π
6
，x2=
π
3
时，f（x1）=f（x2）=0，说明①不正确．
由诱导公式可得②是正确的．
由x=-
π
6
 时，f（x）=0，故点(-
π
6
，0)是f（x）与x轴的交点，故③正确．
由 当 x=
π
3
时，f(x)=4sin(2x+
π
3
)=0，不是最值可得④是错误的．
 由   2kπ-
π
2
≤(2x+
π
3
)≤2kπ+
π
2
 得，解得x的范围即是增区间，可得⑤正确．
解答：解：∵f(x)=4sin(2x+
π
3
)，(x∈R)的周期为π，
当x1=-
π
6
，x2=
π
3
时，f（x1）=f（x2）=0，x1-x2 =
π
2
≠kπ，k∈z，故①是错误的．
∵由诱导公式可得f(x)=4sin(2x+
π
3
)=4cos（
π
2
-2x-
π
3
 ）=4cos（
π
6
-2x）=4cos（2x-
π
6
），故 ②正确．
∵当 x=-
π
6
 时，f（x）=0，故点(-
π
6
，0)是f（x）与x轴的交点，故是对称点，故③正确．
∵当 x=
π
3
时，f(x)=4sin(2x+
π
3
)=0，不是f（x）的最值，故④是错误的．
由   2kπ-
π
2
≤(2x+
π
3
)≤2kπ+
π
2
 得，kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
，k∈z，故⑤正确．
综上，②③⑤正确，①④不正确，
答案为 ②③⑤．
点评：本题考查正弦函数的对称性、单调性、周期性，诱导公式的应用，熟记正弦函数的性质是解题的关键．
练习册系列答案
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关于函数f(x)=sin(2x-
π
4
)，有下列命题：
①其表达式也可写成f(x)=cos(2x+
π
4
)；
②直线x=-
π
8
是f（x）图象的一条对称轴；
③函数f（x）的图象可以由函数g（x）=sin2x的图象向右平移
π
4
个单位得到；
④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立，
则其中真命题为
②④
②④
．
关于函数f(x)=2sin(3x-
3
4
π)，有下列命题：
①其最小正周期为
2
3
π；     
②其图象由y=2sin3x向左平移
π
4
个单位而得到；
③其表达式写成f(x)=2cos(3x+
3
4
π)；
④在x∈[
π
12
，
5
12
π]为单调递增函数；
则其中真命题的个数是（　　）
关于函数f(x)=lg
x2+1
|x|
(x≠0)，有下列命题：（1）其图象关于y轴对称；（2）当x＞0时，f（x）是增函数，当x＜0时，f（x）是减函数；（3）f（x）在区间（-1，0）和（1，+∞）上均为增函数；（4）f（x）的最小值是lg2．其中所有正确的结论序号是（　　）
A、（1）（2）（3）
B、（1）（2）（4）
C、（1）（3）（4）
D、（2）（3）（4）
已知定义在[1，+∞）上的函数f(x)=
4-|8x-12|(1≤x≤2)
1
2
f(
x
2
)(x＞2)
，则（　　）
关于函数f(x)=4sin(2x+
π
3
)，x∈R有下列命题：
①由f（x1）=f（x2）=0可知，x1-x2必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos(2x-
π
6
)；
③y=f（x）在[-
3π
4
，-
π
2
]单调递减；
④若方程f（x）-m=0在x∈[0，
π
2
]恰有一解，则m∈[-2
3
，2
3
)；
⑤函数y=|f（x）+1|的最小正周期是π，
其中正确的命题序号是
 
．

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