题目内容

关于函数f(x)=lg
x2+1
|x|
(x≠0)，有下列命题：（1）其图象关于y轴对称；（2）当x＞0时，f（x）是增函数，当x＜0时，f（x）是减函数；（3）f（x）在区间（-1，0）和（1，+∞）上均为增函数；（4）f（x）的最小值是lg2．其中所有正确的结论序号是（　　）
A、（1）（2）（3）
B、（1）（2）（4）
C、（1）（3）（4）
D、（2）（3）（4）
分析：根据函数奇偶性的定义，我们可以判断出函数的奇偶性，进而判断（1）的真假；结合复合函数的单调性及“对勾”函数的单调性，我们可以判断出函数的单调性，并求出函数的最小值，进而判断出（2），（3），（4）的真假，进而得到答案．
解答：解：由已知中函数f(x)=lg
x2+1
|x|
(x≠0)，可得
函数为偶函数，则（1）其图象关于y轴对称正确；
区间（-∞，-1），（0，1）是函数的单调减区间，（-1，0），（1，+∞）是函数的单调增区间，故（2）错误，（3）正确；
当x=±1时，函数取最小值lg2，故（4）是正确；
故选C
点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，函数奇偶性和单调性的综合应用，复合函数的单调性，及“对勾函数”的单调性，是多个函数难点的综合应用，难度比较大．
练习册系列答案
相关题目
有下列四个命题：
（1）一定存在直线l，使函数f(x)=lgx+lg
12
的图象与函数g（x）=lg（-x）+2的图象关于直线l对称；
（2）在复数范围内，a+bi=0?a=0，b=0
（3）已知数列an的前n项和为Sn=1-（-1）n，n∈N*，则数列an一定是等比数列；
（4）过抛物线y2=2px（p＞0）上的任意一点M（x°，y°）的切线方程一定可以表示为y0y=p（x+x0）．
则正确命题的序号为
 
．
已知函数f(x)=sin(2x-
π
6
)的图象为L，下列说法不正确的是（　　）
A、图象L关于直线x=
5π
6
对称
B、图象L关于点(
7π
12
，0)对称
C、函数f（x）在(-
π
6
，
π
3
)上单调递增
D、将L先向左平移
π
12
个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象
给出下列五个命题：
①若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值；
②若m≥-1，则函数f(x)=log
1
2
(x2-2x-m)的值域为R；
③“a=1”是“函数f(x)=
a-ex
1+aex
在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．
④函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l-x）的图象关于y轴对称；
⑤“x1＞1且x2＞2”是“x1+x2＞3且x1x2＞2”的充要条件；
其中正确命题的个数是
②③
②③
．
下列说法正确的为
①③④
①③④
．
①函数y=f（x）与直线x=l的交点个数为0或l；
②a∈（
1
4
，+∞）时，函数y=lg（x2+x+a）的值域为R；
③函数y=f（2-x）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称；
④若函数f（x）=ax，则?x1，?x2∈R，都有f（
x1+x2
2
）＜
f(x1)+f(x2) 
2
；
⑤若函数f(x)=log
2
x，则?x1，x2∈（0，+∞），都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0．
有下列四个命题：
（1）一定存在直线l使函数f(x)=lgx+lg
1
2
的图象与函数g（x）=lg（-x）+2的图象关于直线l对称
（2）不等式：arcsinx≤arccosx的解集为[
2
2
，1]；
（3）已知数列{an}的前n项和为Sn=1-（-1）n，n∈N*，则数列{an}一定是等比数列；
（4）过抛物线y2=2px（p＞0）上的任意一点M（x°，y°）的切线方程一定可以表示为y0y=p（x+x0）．
则正确命题的序号为
（3）（4）
（3）（4）
．

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