Question

如图已知四棱锥P—ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠A=90°且AB∥CD，AB=CD.

（1）点F在线段PC上运动，且设=λ,问当λ为何值时，BF∥平面PAD？并证明你的结论；

（2）二面角F—CD—B为45°，求二面角B—PC—D的大小；

（3）在（2）的条件下，若AD=2，CD=3，求点A到平面PBC的距离.

Answer 1

解:（1）当λ=1时，BF∥平面PAD.

证明：取PD中点E，则EF∥CD，

且EF=CD,又AB∥CD且AB=CD,

∴四边形ABFE为平行四边形.

∴BF∥AE.又AE平面PAD,

∴BF∥平面PAD.

（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD,

CD⊥PD,∠PDA即是二面角的平面角∠PDA=45°，

∴△PAD为等腰直角三角形，∴AE⊥PD,∵CD⊥AD,∴AE⊥CD,

∴AE⊥平面PCD.

又BF∥AE，

∴BF⊥平面PCD.∵BF平面PBC，

∴平面PCD⊥平面PBC，即二面角B—PC—D的大小为90°.

（3）在平面PCD内作EH⊥PC于点H，由平面PCD⊥平面PBC且平面PCD∩平面PBC=PC知：EH⊥平面PBC.

在Rt△PCD中,PC=,

在Rt△PEF 中，EH·PF=PE·EF，将PE=,PF=,EF=代入得

EH=.即点E到平面PBC的距离为.

又∵AE∥BF,∴AE∥平面PBC,

∴点A到平面PBC的距离为.