题目内容
如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A，B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD∥OA），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域--养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA=1cm，∠AOB=| π | 3 |
（1）用θ表示CD的长度；
（2）求所需渔网长度（即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和）的取值范围．
分析：（1）先确定∠COD，再在△OCD中，利用正弦定理，可求CD的长度；
（2）根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，即可求得所需渔网长度的取值范围．
（2）根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，即可求得所需渔网长度的取值范围．
解答：解：（1）由CD∥OA，∠AOB=
，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=
，∠COD=
-θ．
在△OCD中，由正弦定理，得CD=
sin（
-θ），θ∈（0，
）（6分）
（2）设渔网的长度为f（θ）．
由（1）可知，f（θ）=θ+1+
sin（
-θ）．（8分）
所以f′（θ）=1-
cos（
-θ），因为θ∈（0，
），所以
-θ∈（0，
），
令f′（θ）=0，得cos（
-θ）=
，所以
-θ=
，所以θ=
．
所以f（θ）∈（2，
]．
故所需渔网长度的取值范围是（2，
]．（14分）
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
在△OCD中，由正弦定理，得CD=
| 2 | ||
|
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）设渔网的长度为f（θ）．
由（1）可知，f（θ）=θ+1+
| 2 | ||
|
| π |
| 3 |
所以f′（θ）=1-
| 2 | ||
|
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
令f′（θ）=0，得cos（
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| θ | （0，
|
|
（
| ||||||||
| f′（θ） | + | 0 | - | ||||||||
| f（θ） | 极大值 |
π+6+2
| ||
| 6 |
故所需渔网长度的取值范围是（2，
π+6+2
| ||
| 6 |
点评：本题考查正弦定理的运用，考查函数模型的构建，考查利用导数确定函数的最值，确定函数的解析式是关键．
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