Question

已知△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，它的外接圆半径为6，角B、C和△ABC的面积s满足条件：s=b²-（c-a）²和sinA+sinC=

4

3

（1）求sinB的值
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，再利用三角形面积公式表示出s，代入已知等式中变形，求出sinB的值即可；
（2）利用正弦定理及R的值，表示出a与c，已知第二个等式利用正弦定理化简，求出a+c的值，利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．

解答：解：（1）∵s=b²-（c-a）²=b²-c²-a²+2ac，且cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∴b²-c²-a²=-2accosB，
∴s=2ac（1-cosB），
∵s=

1

2

acsinB，∴

1

2

sinB=2-2cosB，
∴4cosB=4-sinB，
两边平方得16cos²B=16-8sinB+sin²B，即16-16sin²B=16-8sinB+sin²B，
∴sinB=

8

17

；
（2）由正弦定理得：a=12sinA，c=12sinC，
又sinA+sinnC=

4

3

，
∴a+c=12×

4

3

=16，又ac≤（

a+c

2

）²=64，当且仅当a=c=8取等号，
∴s=

1

2

acsinB=

4

17

ac≤

4

17

×64=

256

17

，
则△ABC的面积的最大值为

256

17

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．