题目内容
【题目】定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)= ,且f(x)在[﹣3,﹣2]上是减函数,若α,β是锐角三角形的两个内角,则( )
A.f(sinα)>f(sinβ)
B.f(cosα)>f(cosβ)
C.f(sinα)>f(cosβ)
D.f(sinα)<f(cosβ)
【答案】C
【解析】解:∵f(x+1)= ,∴f(x+2)=f(x),f(x)是周期为2的周期函数. ∵y=f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(﹣x)=f(x),∵f(x)在[﹣3,﹣2]上是减函数,
∴在[2,3]上是增函数,∴在[0,1]上是增函数,∵α,β是锐角三角形的两个内角.
∴α+β>90°,α>90°﹣β,两边同取正弦得:sinα>sin(90°﹣β)=cosβ,
且sinα、cosβ都在区间[0,1]上,
∴f(sinα)>f(cosβ),
故选:C.
由条件f(x+1)= 得到f(x)是周期为2的周期函数,由f(x)是定义在R上的偶函数,在[﹣3,﹣2]上是减函数,得到f(x)在[2,3]上是增函数,在[0,1]上是增函数,再由α,β是锐角三角形的两个内角,得到α>90°﹣β,且sinα、cosβ都在区间[0,1]上,从而得到f(sinα)>f(cosβ).
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