题目内容
设定义域为R的奇函数y=f（x）在区间（-∞，0）上是减函数．
（1）求证：函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数；
（2）试构造一个满足上述题意且在（-∞，+∞）内不是单调递减的函数．（不必证明）
解：（1）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＞-x1＞-x2（2分）
由y=f（x）在区间（-∞，0）上是单调递减函数，有f（-x1）＜f（-x2），（3分）
又由y=f（x）是奇函数，有-f（x1）＜-f（x2），即f（x1）＞f（x2）． （3分）
所以，函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数． （1分）
（2）如函数
满足在（-∞，0）和（0，+∞）上是单调减函数，
但在（-∞，+∞）内不是单调递减的函数 （6分）
分析：（1）由单调性的定义可x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＞-x1＞-x2，则可得f（-x1）＜f（-x2），由奇函数的性质可得-f（x1）＜-f（x2），进而可得f（x1）＞f（x2），即得单调性；
（2）举出例子即可，举分段函数．
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，属基础题．
由y=f（x）在区间（-∞，0）上是单调递减函数，有f（-x1）＜f（-x2），（3分）
又由y=f（x）是奇函数，有-f（x1）＜-f（x2），即f（x1）＞f（x2）． （3分）
所以，函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数． （1分）
（2）如函数
满足在（-∞，0）和（0，+∞）上是单调减函数，但在（-∞，+∞）内不是单调递减的函数 （6分）
分析：（1）由单调性的定义可x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＞-x1＞-x2，则可得f（-x1）＜f（-x2），由奇函数的性质可得-f（x1）＜-f（x2），进而可得f（x1）＞f（x2），即得单调性；
（2）举出例子即可，举分段函数．
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，属基础题．
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