Question

设定义域为R的奇函数y=f（x）是减函数，若当θ∈[0，

π

2

]时，f（cos²θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：根据函数是奇函数原不等式化简为f（cos²θ+2msinθ）＞f（2m+2），再借助于函数的单调性可得：cos²θ+2msinθ＜2m+2，进而利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案．

解答：解：由条件可得：f（cos²θ+2msinθ）＞-f（-2m-2）
由于y=f（x）是奇函数，故有f（-2m-2）=-f（2m+2）（2分）
即f（cos²θ+2msinθ）＞f（2m+2）
又由于y=f（x）是减函数，等价于cos²θ+2msinθ＜2m+2恒成立．（4分）
设t=sinθ∈[0，1]，等价于t²-2mt+2m+1＞0在t∈[0，1]恒成立．（6分）
只要g（t）=t²-2mt+2m+1在[0，1]的最小值大于0即可．（8分）
（1）当m＜0时，最小值为g（0）=2m+1＞0，所以可得：0＞m＞-

1

2

（2）当0≤m≤1时，最小值为g（m）=-m²+2m+1＞0，所以可得：0≤m≤1
（3）当m＞1时，最小值为g（1）=2＞0恒成立，得：m＞1，（13分）
综之：m＞-

1

2

为所求的范围．（14分）

点评：本题考查了抽象不等式问题，特别要注意体会由抽象不等式向三角不等式转化的过程当中单调性起到了重要的作用．同时本题充分挖掘了二次函数图象的特点，为求解参数的范围提供了方便．