Question

（2012•广东）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且DF=

1

2

AB，PH为△PAD中AD边上的高．
（1）证明：PH⊥平面ABCD；
（2）若PH=1，AD=

2

，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；
（3）证明：EF⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．
（2）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E-BCF的体积．
（3）取PA中点M，连接MD，ME，因为E是PB的中点，所以DF

∥ .

.

1

2

AB，因为ME

∥ .

.

1

2

AB，所以ME

∥ .

.

DF，故四边形MEDF是平行四边形．由此能够证明EF⊥平面PAB．

解答：解：（1）证明：∵AB⊥平面PAD，
∴PH⊥AB，
∵PH为△PAD中AD边上的高，
∴PH⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PH⊥平面ABCD．
（2）如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，
∵E是PB的中点，
∴EG∥PH，
∵PH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
则EG=

1

2

PH=

1

2

，
∴VE-BCF=

1

3

S△BCF•EG=

1

3

•

1

2

•FC•AD•EG=

2

12

（3）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，
∵E是PB的中点，
∴ME

∥ .

.

1

2

AB，
∵DF

∥ .

.

1

2

AB，
∴ME

∥ .

.

DF，
∴四边形MEDF是平行四边形，
∴EF∥MD，
∵PD=AD，∴MD⊥PA，
∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，
∴EF⊥平面PAB．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．