Question

（03年北京卷文）（12分）

如图，ABCD―A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.

   （Ⅰ）求三棱锥D₁―DBC的体积.；

   （Ⅱ）证明BD₁∥平面C₁DE；

   （Ⅲ）求面C₁DE与面CDE所成二面角的正切值.

Answer 1

解析: （Ⅰ）解：.

（Ⅱ）证明：记D₁C与DC₁的交点为O，连结OE.

      ∵O是CD₁的中点，E是BC的中点，

∴EO∥BD₁.

∵BD₁平面C₁DE，EO平面C₁DE，

∴BD₁∥平面C₁DE.

  （Ⅲ）解：过C作CH⊥DE于H，连结C₁H.

在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，

C₁C⊥平面ABCD，

∴∠C₁H⊥DE，   ∴∠C₁HC是面C₁DE与面CDE所成二面角的平面角.

∵DC=2，CC₁=1，CE=1，  ∴，

∴  即面C₁DE与面CDE所成二面角的正切值为