题目内容

已知函数g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f(x)=log
3
(x+a)的图象上．
（1）求实数a的值
（2）解不等式g（x）＞3．
分析：（1）求实数a的值，可由题中函数g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，由指数的运算性质求出点A的坐标，再由点A在函数f(x)=log
3
(x+a)的图象上，求出参数的值．
（2）由（1）的结论，得出函数g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的单调性，由单调性解不等式即可．
解答：解：（1）题意知定点A的坐标为（2，2）（3分）
所以log
3
(2+a)=2，解得a=1（6分）
所以有g（x）=2x-2+（17分）
（2）由g（x）＞3得2x-2+1＞3（8分）
即2x-2＞2，所以x-2＞1（10分）
解得x＞3（12分）
点评：本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是根据指数函数的性质求出函数恒过定点的坐标，以及根据指数函数的单调性解指数不等式．
练习册系列答案
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设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=lnx+
b+2x+1
(x＞1)，其中b为实数．
（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；
②求函数f（x）的单调区间．
（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m的取值范围．
已知二次函数f（x）的图象与坐标轴分别交于点（1，0）、（3，0）、（0，2）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）已知函数g（x）=log2x的定义域为{x|f（x）＜2}，求函数g（x）的值域．
已知函数g（x+2）=2x-3，则函数g（x）=
2x-7
2x-7
．
已知函数g（x）=asinx+bcosx+c
（1）当b=0时，求g（x）的值域；
（2）当a=1，c=0时，函数g（x）的图象关于x=
5π
3
对称，求函数y=bsinx+acosx的对称轴．
（3）若g（x）图象上有一个最低点(
11π
6
，1)，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
3
π
倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，又知f（x）=3的所有正根从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，…，且xn-xn-1=3（n≥2），求f（x）的解析式．
（2013•成都模拟）若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x0，使f（x0+k）=f（x0）+f（k）（k为常数），则称“f（x）关于k可线性分解”
（1）函数f（x）=2x+x2是否关于1可线性分解？请说明理由；
（2）已知函数g（x）=lnx-ax+1（a＞0）关于a可线性分解，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，当a取最小整数时，求g（x）的单调区间．

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