Question

（2012•湖北模拟）若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足：①f（x，x）=x，②f（x，y）=f（y，x）；③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），则f（12，16）的值是（　　）

A．12

B．16

C．24

D．48

Answer 1

分析：先将性质③转化为f（x，x+y）=

1

y

（x+y）f（x，y），再将所求f（12，16）中的16分解为12+4，利用性质③转化为求f（12，4），利用性质②将所求转化为求f（4，12），再利用性质③转化为求f（4，8），以此类推，最后转化为求f（4，4）．利用性质①即可

解答：解：依题意：∵（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），∴f（x，x+y）=

1

y

（x+y）f（x，y）
∴f（12，16）=f（12，12+4）=

1

4

（12+4）f（12，4）=4f（12，4）
=4f（4，12）=4f（4，4+8）=4×

1

8

（4+8）f（4，8）=6f（4，8）
=6f（4，4+4）=6×

1

4

（4+4）f（4，4）=12f（4，4）=12×4=48
故选 D

点评：本题主要考查了利用抽象函数表达式计算函数值的方法，转化化归的思想方法，恰当的利用性质③是解决本题的关键