Question

（2013•江苏一模）（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知直线l的参数方程

x=2-t y=1+ 3 t

（t为参数），圆C的极坐标方程：ρ+2sinθ=0．
（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）在圆C上求一点P，使得点P到直线l的距离最小．

Answer 1

分析：（1）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C任意点P的坐标为（cosθ，-1+sinθ），利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值，并求出此时θ的度数，即可确定出所求点P的坐标．

解答：解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y=-

3

x+1+2

3

，
ρ+2sinθ=0，两边同乘以ρ得ρ²+2ρsinθ=0，
得⊙C的直角坐标方程为x²+（y+1）²=1；
（2）设所求的点为P（cosθ，-1+sinθ），
则P到直线l的距离d=

| 3 cosθ+sinθ-2-2 3 |

1+3

=

|2sin(θ+ π 3 )-2-2 3 |

2

=

2+2 3 -2sin(θ+ π 3 )

2

，
当θ=

π

6

+2kπ，k∈Z，sin（θ+

π

3

）=1，d取得最小值

3

，
此时点P的坐标为（

3

2

，-

1

2

）．

点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．