Question

设以向量

a

=(

2

，1)为方向向量的直线与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)交于不同的两点P、Q．若点P、Q在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为

2

2

．

Answer 1

分析：确定两个交点坐标，代入椭圆方程，化简可得结论．

解答：解：由题意，两个交点横坐标是-c，c，所以两个交点分别为（-c，-

2

2

c），（c，

2

2

c）
代入椭圆方程可得

c2

a2

+

c2

2b2

=1，两边乘2a²b²
∴c²（2b²+a²）=2a²b²
∵b²=a²-c²
∴c²（3a²-2c²）=2a⁴-2a²c²
∴2a⁴-5a²c²+2c⁴=0
∴（2a²-c²）（a²-2c²）=0
∴

c2

a2

=2，或

c2

a2

=

1

2

∵0＜e＜1
∴e=

c

a

=

2

2

故答案为：

2

2

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是确定椭圆方程中a，b和c的关系．