Question

【题目】如图，已知垂直于以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且

(Ⅰ) 求证：

(Ⅱ) 求二面角余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，根据条件可证明 ，即证明平面，所以；（Ⅱ）以点为原点， 为轴建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量 ，求的值.

试题解析：（Ⅰ）证明：由知点为的中点，

连接,因为

所以为等边三角形

又点为的中点，所以

因为平面平面

所以

又平面平面

所以平面,又平面,

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 三线两两垂直，以为原点，以所在的直线分别为轴， 轴, 轴建立空间直角坐标系，则

所以

设平面与平面的法向量分别为

显然平面的一个法向量为

设,由得

解得令

则

所以

所以，二面角的余弦值为.