Question

14．已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y=2，则$\frac{1}{2x+4y}$+$\frac{2}{x-y}$的最小值为$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由条件x+y=2得$\frac{2x+4y}{6}$+$\frac{x-y}{6}$=1，利用1的代换，结合基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：∵x+y=2，
∴3x+3y=6，
即2x+4y+x-y=6，
则$\frac{2x+4y}{6}$+$\frac{x-y}{6}$=1，
∵实数x，y满足x＞y＞0，∴x-y＞0，
则$\frac{1}{2x+4y}$+$\frac{2}{x-y}$=（$\frac{1}{2x+4y}$+$\frac{2}{x-y}$）（$\frac{2x+4y}{6}$+$\frac{x-y}{6}$）=$\frac{1}{6}$+$\frac{2}{6}$+$\frac{2x+4y}{3（x-y）}$+$\frac{x-y}{6（2x+4y）}$≥$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{\frac{2x+4y}{3（x-y）}•\frac{x-y}{6（2x+4y）}}$=$\frac{1}{2}+2×\frac{\sqrt{2}}{6}$=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}$，
当且仅当$\frac{2x+4y}{3（x-y）}$=$\frac{x-y}{6（2x+4y）}$时，取等号，
故$\frac{1}{2x+4y}$+$\frac{2}{x-y}$的最小值为$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}$

点评 本题主要考查不等式最值的求解，根据条件转化为基本不等式形式是解决本题的关键．