Question

设复数z₁=2sinθ+cosθ（

π

4

＜θ＜

π

2

）在复平面上对应向量

OZ1

，将

OZ1

按顺时针方向旋转

3π

4

后得到向量

OZ2

，

OZ2

对应的复数为z₂=r（cosφ+isinφ），则tanφ=

 

．

Answer 1

分析：先把复数z₁ 化为三角形式，再根据题中的条件求出复数z₂，将求出的复数 z₂和已知的复数 z₂作对照，可得cos∅=cos（

5

4

π+β ），sin∅=sin（

5

4

π+β），可求tan∅，再把tanβ=

cosθ

2sinθ

 代入化简．

解答：解：∵复数z₁=2sinθ+icosθ （ 0＜θ＜

π

2

） 的模为 

(2 sinθ)2+cos2θ

=

1+3sin2θ

，
∴复数z₁=

1+3sin2θ

（ 

2sinθ

1+3sin2θ

+i

cosθ

1+ 3sin2θ

）=

1+3sin2θ

（cosβ+i sinβ）
其中，cosβ=

2sinθ

1+3sin2θ

，sinβ=

cosθ

1+ 3sin2θ

，β为锐角，∴tanβ=

cosθ

2sinθ

，
∴z₂ =

1+3sin2θ

•（cos（β-

3π

4

）+i sin（β-

3π

4

））
=

1+3sin2θ

•（cos（2π+β-

3π

4

）+i sin（2π+β-

3π

4

））=

1+3sin2θ

•（cos（

5

4

π+β ）+isin（

5

4

π+β）），

又已知复数 z₂=r（cos∅+isin∅），∴cos∅=cos（

5

4

π+β ），sin∅=sin（

5

4

π+β），
∴tan∅=

sin∅

cos∅

=

sin( 5π 4 +β)

cos( 5π 4 +β)

=tan（

5π

4

+β）=tan（

π

4

+β）=

1+tanβ

1-tanβ

=

1+ cosθ 2sinθ

1- cosθ 2sinθ

=

2sinθ+cosθ

2sinθ-cosθ

 
=

2tanθ+1

2tanθ-1

，
故答案为：

2tanθ+1

2tanθ-1

．

点评：本题考查复数的三角形式，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及利用棣莫弗定理进行复数三角形式的运算．