Question

（04年北京卷文）(14分)

如图,在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,AB=2,AA₁=2,由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线与AA₁的交点记为M.求:

(Ⅰ)三棱柱的侧面展开图的对角线长;

(Ⅱ)该最短路线的长及的值;

(Ⅲ)平面C₁MB与平面ABC所成二面角(锐角)的大小.

Answer 1

解析：(Ⅰ)正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,其对角线长为

(Ⅱ)如图,将侧面AA₁B₁B绕棱AA₁旋转120º使其

   侧面AA₁C₁C在同一平面上,点B运动到点D的位置,连接DC₁交AA₁于M,

  则DC₁就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线,其长为

 ∵   ∴AM=A₁M,故

 (Ⅲ)连接DB,C₁B,则DB就是平面C₁MB与平面ABC的交线.在ΔDCB中,

∵∴CB⊥DB,

又C₁C⊥平面CBD,

由三垂线定理得C₁B⊥DB.

 ∴∠C₁BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角(锐角).

∵侧面C₁B₁BC是正方形,

∴∠C₁BC=45º.

     故平面C₁MB与平面ABC所成的二面角(锐角)为45º.      (14分)